Projekt - Mathematik

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1. Gleichungen

a) Zahlengleichungen
Beispiel:
0,75 * (42,76 + 8,48x) - 4,2 * (0,75 - 0,6x) = (-3,4x - 0,6) * 1,8
Klammern auflösen:
32,07 + 6,36x - 3,15 + 2,52x = -6,12x - 1,08
Zusammenfassen:
8,88x + 28,92 = -6,12 x - 1,08   /+6,12x
x auf eine Seite bringen
15x + 28,92 = - 1,08      /-28,92
x isolieren
15x = - 30     /:15
x berechnen
x = -2

b) Bruchgleichungen
Rechenschritte:
- Klammern auflösen
- mit Hauptnenner multiplizieren, damit Brüche wegkommen und eine reine Zahlengleichung vorhanden ist
- weiter wie bei a)

c) Textleichungen
Beispiel:
Bei der Vorstandswahl eines Vereins wurden insgesamt 98 Stimmen abgegeben. Frau Artner erhielt 12 Stimmen weniger als Herr Sauer. Herr Grünwald erhielt 33 Stimmen mehr als 1/4 der Stimmen von Herrn Sauer. Auf die restlichen Kandidaten entfielen 14 Stimmen. Wer erhielt die meisten Stimmen und wie viele waren das?
Lösung:
Über irgendeinen Kandidaten gibt es keine spezielle Aussage, das ist unser x. In diesem Fall ist das Herr Sauer, also
Herr Sauer: x
Frau Artner: x - 12 (12 Stimmen weniger...)
Herr Grünwald: 1/4x + 33 (33 Stimmen mehr als 1/4...)
Rest: 14
gesamt: 98
Folglich lautet die Gleichung:
x + x - 12 + 1/4x + 33 + 14 = 98
2,25x + 35 = 98   /-35
2,25x = 63    /:2,25
x = 28
Ergebnis:
Herr Sauer: 28
Frau Artner: 16
Herr Grünwald: 40
Rest: 14
gesamt: 98

2. Prozent- und Zinsrechnung

- Erkennen was gegeben und gesucht ist
- Formel, Operator oder Dreisatz anwenden

- Mehrwertsteuer herausrechenen, z. B. ein ....kostet inklusive Mehrwertsteuer 135,00 Euro. Wie hoch ist die Mehrwertsteuer:
119 % = 135
     1 % =     1,1344... (Wert im Taschenrechner lassen!)
   19 % =   21,55 (auf 2 Stellen runden)
oder: 135:119*19

- verminderter Grundwert, z. B. eine Hose kostet nach einer Reduzierung um 25 % nur noch 60 Euro. Wie teuer war sie vorher?
75 % = 60
    1 % =     0,008
100 % = 80
oder: 60 : 75 * 100

- erhöhter Grundwert (ähnlich Mehrwertsteuer), z. B. nach einer Preiserhöhung um 8 % kostet ein Auto 22 000 Euro. Wie teuer war es vorher?
108 % = 22 000
    1 % =       203,703
100 % = 20 370
oder: 22 000 : 108 * 100

- Diagramme, Tabellen richtig lesen, z. B. Pauker S. 147, Aufgabe 2
a) 27,3 Mrd. - 21,6 Mrd. = 5,7 Mrd.
100 % = 21,6
    1 % =       0,216
    x % = 5,7 : 0,216 = 26,39 %
oder 5,7 : 21,6 * 100
b) 208 % = 4770
         1 % =      22,93269
    100 % = 2293,27
oder: 4770 : 208 * 100
c) 84 % = 865
       1 % =   10,2976
   100 % = 1029,76 ~ 1030
1030 - 865 = 165

- Zinsrechnung: erst Jahreszinsen berechnen, dann Monats- oder Tageszinsen (Beispiel Pauker S. 153, Nr. 3)
a) Kapital: 489,99 - 285 = 204,99
Jahreszinsen: 204,99 * 14,75 : 100 = 30,236025
Tageszinsen: 30,236025 : 360 * 87 = 7,31
Gesamtkosten: 489,99 + 7,31 = 497,30
b) Preis: 43,72 * 12 = 524,64
Internet: 524,64 + 5,95 = 530, 59
Differenz: 530,59 - 497,30 = 33,29
Merke: ein Zinsjahr hat 360 Tage, ein Monat immer 30 Tage!

3. Potenzen und Wurzeln

- 104 600 = 1,046 * 10 hoch 5 (5 Stellen nach dem 1er)
- 0,00000034 = 3,4 * 10 hoch minus 7 (7 Nullen bis zum 3er)
- Eingabe in den Taschenrechner: 1,046 EXP 5 oder 3,4 EXP -7
- Wurzeln: Wurzel aus 9 ist 3 (da 3 mal 3 9 ist), Wurzel aus 225 ist 15, Eingabe in den Taschenrechner über Wurzeltaste.
- Rechnungen Buch S. 36: Lösungen
1a) 50 * 90 = 4500
b) 180 * 4500 = 810 000 KB = 0,81 MB
2a) 183 * 4 = 732 MB
b) Festplatte hat 159 300 MB mehr
c) 0,7 GB : 160 GB * 100 = 0,46 %
3 Licht: 3,9 mal 10 hoch minus 7, 7,5 mal 10 hoch minus 7
Röntgen: 6 mal 10 hoch minus 12, 1 mal 10 hoch minus 8
4a) 15 : 3,24 EXP -22 = 4,63 EXP 22 (4,63 mal 10 hoch 22)
b) 2,25 : 2,76 EXP -12 (Durchmesser) = 8,15 EXP 11
5a) 2,657 EXP -23 : 16 = 1,66 EXP -24
b) 1,99 EXP -23 + 4 * 1,67 EXP -24 = 2,66 EXP-23
c) 50 : 3,44 EXP -22 = 1,45 EXP 23
6a) 1,15 EXP -5 * 15 * 245 = 0,0422
245 + 0,042 = 245,042
b) 1,15 EXP -5 * 8 * 1250 = 0,115 m. Die Brücke wird um 11,5 cm kürzer.
7a) 6l = 6 dm³ = 6 000cm³ = 6 000 000 mm³
6 000 000 * 5 EXP 6 = 3 EXP 13
b) 3 EXP 13 * 7 EXP -3 = 2,1 EXP 11 mm = 210 000 km
c) 3 EXP 13 * 150 = 4,5 EXP 15

4. Geometrie

a) geometrisches Zeichnen
- Vielecke: Mittelspunktwinkel und Basiswinkel berechnen
- Bestimmungsdreieck zeichnen --> Vieleck zeichen
- Fläche des Bestimmungsdreieck berechnen (A = g * h : 2), dann mal sechs (z. B. bei Sechseck)
- beim Sechseck sind alle Seiten und Winkel gleich (60°)
- Koordinatensystem (erst x (rechts) dann y (hoch)), negative Zahlen beachten
- Senkrechte, Mittelsenkrechte, Parallele wiederholen
- geometrische Figuren wiederholen (Trapez, Raute, Parallelogramm)
- Formelsammlung benutzen bei Flächenberechnungen.

b) Flächenberechnungen
- Fläche in bekannte Teilflächen zerlegen (Rechtecke, Dreiecke, Kreise, Halbkreise)
- Teilflächen berechnen
- Maße aus der Zeichnung entnehmen
- Pythagoras erkennen (!!) --> wo ist ein rechtwinkliges Dreieck??
- Formelsammlung benutzen, wenn du eine Formel nicht weißt
- Gesamtfläche berechnen
- Flächen sind immer Quadratzahlen --> m², cm²...
- Umrechnungsfaktor: 100
- 1 m² = 100 dm² = 10 000 cm² = 1 000 000 mm²

c) Volumenberechnungen (Körper)
- Gesamtkörper in Teilkörper zerlegen (Quader, Zylinder, Pyramide, Kegel, Dreiecksprisma...)
- Teilkörper berechnen (immer Grundfläche mal Höhe/Tiefe!!!)
- Formelsammlung benutzen
- Pythagoras erkennen (!!) --> wo ist ein rechtwinkliges Dreieck?? (meist für Höhen oder Seiten eines Körpers)
- Gesamtkörper berechnen
- Körper sind immer Kubikzahlen --> m³, cm³
- in gleiche Einheiten umwandeln
- Umrechnungsfaktor: 1000
- Merke: 1dm³ = 1 Liter, 1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 000 cm³
- Merke: 1 Tonne = 1 000 kg
- Merke: 1 km³ = 1 000 000 m³
- Masse berechnen: m = Volumen * Dichte (Einheiten beachten)

5. Funktionen

a) proportionale Funktionen
- Wertetabelle erstellen
- Proportionale Funktionen sind immer quotientengleich, z. B. mit der doppelten Menge Benzin fährt ein Auto doppelt so weit. Der Graph der Funktion ergibt eine Linie.
- Vorsicht: Proportionale Funktionen mit Grundgebühr Stromtarife, Wasserverbrauch, Handyverträge). Du musst die Grundgebühr immer dazu rechnen --> der Graph der Funktion beginnt nicht bei Null!!

b) umgekehrt proportionale Funktionen
- Wertetabelle erstellen
- Umgekehrt proportionale Funktionen sind immer produktgleich, z. B. die doppelte Anzahl der Arbeiter benötigt halb so viel Zeit. Der Graph der Funktion ergibt eine Kurve.

6. Beschreibende Statistik
- Durchschnitt (arithmetisches Mittel, Mittelwert) berechnen
- absolute Häufikeit
- relative Häufigkeit
- Rangliste
- Zentralwert (Median)
- Diagramme lesen, erstellen

!!!! Wichtig !!!!

Bei allen Aufgaben gut lesen. Unterstreiche die Angaben! Was ist gegeben? Was ist gesucht? Die Aufgaben sind in der Regel nicht schwer, aber im Text ist immer eine Schwierigkeit versteckt, die du erkennen musst!!